Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

(Здесь (ln(cosx))’ — .)

Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.

Содержание

См. также: Таблица неопределенных интегралов
Основные элементарные функции и их свойства

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) - это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x - это функция от t .
(2) ,
где t - это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2) . Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b - постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2 - это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

D) Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.

.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .

.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

• научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
• продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
• продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
• воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
• напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

• таблица основных формул интегрирования;
• карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Ход занятия

I . Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос:

III . Повторение опорных знаний учащихся.

1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.

2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

IV . Изучение нового материала.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) )4

Введем подстановку:

Дифференцируя это равенство, имеем:

V . Применение знаний при решении типовых примеров.

VI . Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Вариант 1

Найти интегралы:

Вариант 2

Найти интегралы:

VII . Подведение итогов занятия.

VIII . Домашнее задание:

Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

А способы приведения интегралов к табличным мы Вам перечислили:

метод замены переменной;

метод интегирования по частям;

Метод непосредственного интегрирования

способы представления неопределенных интегралов через табличные для интегралов от рациональных дробей;

методы представления неопределенных интегралов через табличные интегралы для интегралов от иррациональных выражений;

способы выражения неопределенных интегралов через табличные для интегралов от тригонометрических функций.

Неопределенный интеграл степенной функции

Неопределенный интеграл експоненты показательной функции

А вот неопределенный интеграл логарифма не является табличным интегралом, вместо него табличной является формула:

Неопределенные интегралы тригонометрических функций: Интегралы синуса косинуса и тангенса

Неопределенные интегралы с обратными тригонометрическими функциями

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

Ответ.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.

Подведение функции под знак дифференциала

Пример 2

Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на . Далее используем табличную формулу :

Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены – это буква . В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место. Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге: Таким образом: А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче. Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Интегрирование по частям. Примеры решений

Интегралы от логарифмов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал :

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрироватьправую часть нижнего равенства :

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:

Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен

Общее правило: за

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:

Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле .

Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:

Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом или даже

То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.

Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Пример 7

Найти неопределенный интеграл.

Интегрируем по частям:

Хммм, …и комментировать нечего.

Метод основан на следующей формуле: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, где x = j(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Найдем производные по переменной t от левой и правой частей формулы.

Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = j(t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее по t, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента по t.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Производная от правой части:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.

а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1. . Пусть t = 1 – 2x, тогда

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .

Пример 2. Например, найдем òcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогда òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t = kx + b (k ¹ 0).

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема о линейной подстановке . Пусть F(х) - некоторая первообразная для функции f(х). Тогда òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, где k и b - некоторые постоянные, k ¹ 0.

Доказательство.

По определению интеграла òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Вынесем постоянный множитель k за знак интеграла: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства на k и получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.

Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла ò f(x)dx = F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx + b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/k перед первообразной.

С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.

Пример 3.

Найдем . Здесь kx + b = 3 – x, т.е. k = -1, b = 3. Тогда

Пример 4.

Найдем . Здесь kx + b = 4x + 3, т.е. k = 4, b = 3. Тогда

Пример 5.

Найдем . Здесь kx + b = -2x + 7, т.е. k = -2, b = 7. Тогда

.

Пример 6. Найдем . Здесь kx + b = 2x + 0, т.е. k = 2, b = 0.

.

Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ . Сравним полученные результаты: . Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое , т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.

Пример 7. Найдем . Выделим в знаменателе полный квадрат.

В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.

Пример 8. Например, найдем . Заменим t = x + 2, тогда dt = d(x + 2) = dx. Тогда

,

где С = С 1 – 6 (при подстановке вместо t выражения (x + 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x – 6).

Пример 9. Найдем . Пусть t = 2x + 1, тогда dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

Подставим вместо t выражение (2x + 1), раскроем скобки и приведем подобные.

Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.

б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1. . Пусть t = - x 2 . Далее можно было бы выразить х через t, затем найти выражение для dx и реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдем dt = d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражение xdx является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенства xdx = - ½ dt. Тогда

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2. Найдем . Пусть t = 1 - x 2 . Тогда

Пример 3. Найдем . Пусть t = . Тогда

;

Пример 4. В случае нелинейной подстановки также бывает удобно использовать неявную замену переменной.

Например, найдем . Запишем xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (неявно заменили переменной t = 3 - 2x 2). Тогда

Пример 5. Найдем . Здесь тоже введем переменную под знак дифференциала: (неявная замена t = 3 + 5x 3). Тогда

Пример 6. Найдем . Поскольку ,

Пример 7. Найдем . Поскольку , то

Рассмотрим несколько примеров, в которых возникает необходимость сочетать различные подстановки.

Пример 8. Найдем . Пусть
t = 2x + 1, тогда x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Пример 9. Найдем . Пусть
t = x - 2, тогда x = t + 2; dx = dt.