Как строить графики функций в Wolfram. Как строить графики функций в Wolfram Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений
+
| сложение |
-
| вычитание |
*
| умножение |
/
| деление |
^
| возведение в степень |
solve
| решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств |
expand
| раскрытие скобок |
factor
| разложение на множители |
sum | вычисление суммы членов последовательности |
derivative | дифференцирование (производная) |
integrate | интеграл |
lim | предел |
inf | бесконечность |
plot | построить график функции |
log (a , b ) | логарифм по основанию a
числа b
|
sin, cos, tg, ctg | синус, косинус, тангенс, котангенс |
sqrt | корень квадратный |
pi | число "пи" (3,1415926535...) |
e | число "е" (2,718281...) |
i | Мнимая единица i |
minimize,
maximize | Нахождение экстремумов функции (минимумов и максимумов)
|
1.
Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени,
показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример
1
. Чтобы решить уравнение
x
2
+ 3
x
- 4 = 0, нужно ввести
solve x^2+3x-4=0
Пример
2. Чтобы решить уравнение log 3 2x
= 2
, нужно ввести
solve log(3, 2x)=2
Пример
3. Чтобы решить уравнение 25
x
-1
= 0.2
, нужно ввести
solve 25^(x-1)=0.2
Пример
4. Чтобы решить уравнение sin x
= 0.5
, нужно ввести
solve sin(x)=0.5
2. Решение систем уравнений.
Пример
. Чтобы решить систему уравнений
x
+
y
= 5,
x
-
y
= 1,
нужно ввести
solve x+y=5
&&
x-y=1
Знаки
&&
3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример
. Чтобы решить неравенство
x
2
+ 3
x
- 4 < 0, нужно ввести
solve x^2+3x-4 0,
нужно ввести
solve x^2+3x-4 0
Знаки
&&
в данном случае обозначает логическое "И".
5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример
. Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d
) 2 (a-c
) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c)
.
6. Разложение выражения на множители.
Пример
. Чтобы разложить на множители выражение
x
2
+ 3
x
- 4, нужно ввести factor x^2 + 3x - 4
.
7. Вычисление суммы
n
первых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример
. Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой a n
= n
3 +n
, нужно ввести sum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии
, у которой первый член
a
1 = 3, разность d
a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии
, у которой первый член
b
1 = 3, разность q
= 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7
8. Нахожд
ение производной.
Пример
. Чтобы найти производную функции f
(x
) =
x
2
+ 3
x
- 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x - 4
9. Нахожд
ение неопределенного интеграла.
Пример
. Чтобы найти первообразную функции
f
(x
) =
x
2
+ 3
x
- 4, нужно ввести
integrate
x^2 + 3x - 4
10. Вычисление
определенного интеграла.
Пример
. Чтобы вычислить интеграл
функции
f
(x
) =
x
2
+ 3
x
- 4 на отрезке ,
нужно ввести
integrate
x^2 + 3x - 4, x=5..7
11. Вычисление
пределов.
Пример
. Чтобы убедиться, что
введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x , стремящемся к бесконечности, следует вводить x -> inf .
12. Исследование функции и построение графика
.
Пример
. Чтобы исследовать функцию
x
3
- 3
x
2
и построить ее график, просто введите x^3-3x^2
. Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ
), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.
13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
.
Пример
. Чтобы найти минимальное
значение функции
x
3
- 3
x
2
на отрезке ,
нужно ввести minimize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}
Чтобы найти максимальное
значение функции
x
3
- 3
x
2
на отрезке ,
нужно ввести maximize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}
Запрос в Wolfram|Alpha : global maxima sin(x)
:
Вы также можете построить построить множество графиков, задав соответствующие запросы:
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot sin(x), sin(2x), sin(3x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), sin(sin(sin(sin(x)))), sin(sin(sin(sin(sin(x)))))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
?
Запрос в Wolfram|Alpha : Contourplot sin(x/|y| - y/|x|) from x = -pi to pi and y = -pi to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
?
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot3d sin(x - y) / sin(x + y) from x = -2pi to 2pi and y = -2pi to 2pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Polar plot r = 1 + sin(100 theta)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Результат последнего запроса, полученный в Wolfram|Alpha имеет вид:
Вы также можете с легкостью построить более сложные выражения, зависящие от функции синус, например:
, где {y} - дробная часть числа y.
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot frac(1/frac(1/sin(x)))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot sin (x!)! from x = -3 to 3
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
. (всего 101 член)
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot nestlist(sin, 1., 100)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
x=max(sin(t), cos(pi t)), y=max(cos(t), sin(pi t))} t = 0 до 100
Запрос в Wolfram|Alpha : Parametric plot {max(sin(t), cos(pi t)), max(cos(t), sin(pi t))} from t = 0 to 100
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
sin(sin(x + i y)) при x =-? до? и y =-? до?
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot3d sin(sin(x + i y)) from x=-pi to pi and y =-pi to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
r = min(sin(x), sin(sqrt(2) x), sin(sqrt(3) x), sin(sqrt(5) x)) при x = 0 до 100 ?
Запрос в Wolfram|Alpha : Polar plot min(sin(x), sin(sqrt(2) x), sin(sqrt(3) x), sin(sqrt(5) x)) from x = 0 to 100 pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
r = exp(sin(theta)) - 2 cos(4 theta) + sin^5(theta/12 - pi/24)
Запрос в Wolfram|Alpha : Polar plot r = exp(sin(theta)) - 2 cos(4 theta) + sin^5(theta/12 - pi/24)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
{sin(s + pi/2) + sin(s + pi/2)sin (t + pi/2)/2, sin(s) + sin(s)sin (t + pi/2)/2, sin (t)/2} при s = 0 до 2? и t = 0 до 2?
Запрос в Wolfram|Alpha : Parametric plot3D {sin(s + pi/2) + sin(s + pi/2)sin (t + pi/2)/2, sin(s) + sin(s)sin (t + pi/2)/2, sin (t)/2} from s = 0 to 2pi and t = 0 to 2pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
А также можете использовать синтаксис Mathematica для задания многих выражений и их обработки:
{Re(sin(x + iy)), Im(Sin(x + iy))}
Запрос в Wolfram|Alpha : StreamDensityPlot[{Re], Im]}, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, ColorFunction -> “ThermometerColors”]
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
при k=0,1,2,3,...,30 пурпурного цвета
Запрос в Wolfram|Alpha : Plot, {k, 0, 30}],{x, 0, Pi/2}] in purple
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Мы можем вычислять какие-то конкретные значения функции синус, скажем
Запрос в Wolfram|Alpha : sin(pi/88)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Можно спросить у Wolfam|Alpha имеют ли какие-то выражения определенные свойства или форму:
?
Запрос в Wolfram|Alpha : Is sin(2/3) algebraic?
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Toradicals(sin(pi/(2^4 3 5)))
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Можно искать периоды различных функций:
Запрос в Wolfram|Alpha : Period of sin(x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Period of sin(x)+2sin(2x)+3sin(3x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
А также находить максимумы и минимумы функций, содержащих функцию синус:
Запрос в Wolfram|Alpha : Minimize sinx + |x|
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Найти максимум функции (sin(x)/x)^2 находящийся между точками? и 4?
Запрос в Wolfram|Alpha : Maximize (sin(x)/x)^2 between pi and 4 pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Мы также можем построить как двумерные, так и трехмерные фигуры Лиссажу:
{sin(11t), sin(13t)}
Запрос в Wolfram|Alpha : Parametric plot {sin(11t), sin(13t)}
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
{sin(2t), sin(3t), sin(5t)} from t = 0 to 2pi
Запрос в Wolfram|Alpha : Parametric plot {sin(2t), sin(3t), sin(5t)} from t = 0 to 2pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Результат запроса Parametric plot {sin(11t), sin(13t)} о котором говорилось выше:
Можно не только строить кривые, но и вычислять их кривизну:
{sin(3t), sin(4t)} в точке t = 1
Запрос в Wolfram|Alpha : Curvature of {sin(3t), sin(4t)} at t = 1
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Найти координаты точек перегиба кривой:
{sin(t), sin(2t)} при t = 0 до?
Запрос в Wolfram|Alpha : Arc length {sin(t), sin(2t)} from t = 0 to pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Длина дуги полярной кривой r = phi sin(phi) при phi = 0 до 12?
Запрос в Wolfram|Alpha : Arc length r = phi sin(phi) from phi = 0 to 12pi
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Ниже представлен результат, который выдает Wolfram|Alpha на предыдущий запрос о длине кривой, заданной в полярной системе координат:
Можно найти точки возврата некоторой функции:
Запрос в Wolfram|Alpha : Corners |sin(x)|
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Или проверить функцию на периодичность:
?
Запрос в Wolfram|Alpha : Periodicity sin(4x + pi/3)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Есть множество математических формул, которые могут потребоваться. Рассмотрим несколько конкретных примеров:
Запрос в Wolfram|Alpha : Trig reduce sin(x)^10
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Trig expand sin(10x)
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Точно также можно получить основные формулы тригонометрии:
Запрос в Wolfram|Alpha : Half-angle formulas sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) :
Запрос в Wolfram|Alpha : Double-angle formulas sinx
Код на языке Wolfram Language (Mathematica) .
Спрашивать ВольфрамАльфу следует на английском. Хотя некоторые вопросы она понимает и на русском: вот спросите ее, что такое число (вопрос, конечно, философский). Но лучше выучить два-три десятка английских слов — и легко, и полезно. Кому тяжело и неполезно, но надо — скачайте сокращенный перевод запросов, касающихся математики:
СкачатьКраткий справочник математических запросов WolframAlpha на русском языке: Яндекс-Диск
Перечислим основные запросы.
Построение графиковГрафик функции одной переменной: plot x^3 - 6x^2 + 4x + 12 [запрос ]
Система выдаст график сразу в двух специально подобранных для каждой функции масштабах — можно и поближе рассмотреть, и с высоты орлиного полета.
Несколько функций в одной системе координат: plot sin x, cos x, tan x [запрос ]
График функции двух переменных: plot sin x cos y [запрос ]
Впрочем, трехмерные графики google строит эффектнее . Еще пример .
Можно попросить решить неравенство: plot |x|^3+|y|^3 < 1
Рядом с каждым графиком и таблицей есть набор кнопок, большая часть которых не работает в бесплатном аккаунте. Кнопка «Copyable plaintext» работает и позволяет скопировать код на языке Wolfram Language. Этот код можно затем использовать в системе Matematica.
Площадь фигуры, ограниченной линиямиЗапрос area between y=|x|, y=x^2-6
Решить уравнение: solve x^2 + 4x + 6 = 0
Решить систему: x+y=10, x-y=4
Решить уравнение в целых числах: solve 3x+4y=5 over the integers
Разложение многочлена на множители: factor 2x^5-19x^4+58x^3-67x^2+56x-48
Раскрыть скобки: expand (x+1)^3
Упростить выражение: simplify cos(arcsin(x)/2)
ФункцииОбласть определения: domain of f(x,y) = log(1-(x^2+y^2))
Область значений: range of 1/sqrt(x^2+1) restricted to 1 < x < 4
Период функции: period y=sin(x)*cos(3x)
Четность функции: is sin(x+pi/4)+cos(x+pi/4) an even function?
Предел функции: Limit/x, x -> 0]
Первая производная по переменной x: D
Вторая производная по переменной x: D
Интеграл: Integrate Log/x^5, x=1..Infinity
Минимумы: minimize x^4-x
Максимумы: maximize x(1-x)e^x
ЧислаЕсли ввести число, например, 28, система выдает всё, что знает об этом числе — простое ли оно, разложение на простые множители, перевод в двоичную систему, запись римскими цифрами, разложение в сумму квадратов и прочее.
Последняя цифра числа: last digit of 9^9^9
Последняя ненулевая цифра числа: last nonzero digit of 178,000!
Цепные дроби: continued fraction 12/67
Число прописью: write out 10^39
Выдать 200 цифр числа пи (или другой константы): pi to 200 digits
Отобразить число или интервал на числовой оси: interval [-sqrt(5), 1+sqrt(5)]
Выдать все простые числа, меньшие 100: primes
Простое число, ближайшее к указанному: prime closest to 169743212304
Миллионное простое число: 1,000,000th prime
Разложить на простые множители: factor 70560
Показать все делители числа: divisors 3600
ГеометрияТреугольник с указанными сторонами: triangle 5, 12, 13
Окружность, вписанная в треугольник: incircle of triangle 13,14,15
Окружность: circle, diameter=10
Шестиугольник: hexagon, perimeter=100
Правильный n-угольник (полигон): 19-gon
Предел последовательности: limit (1+1/n)^n, n->infinity
Суммы: 3+12+27+...+300
Произведения: 2 * 4 * 6 * ... * 36
Пытается распознавать последовательности, выдает формулу: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Рекуррентную формулу преобразовать в обычную: g(0)=1, g(n+1)=n^2+g(n)
И много всякого разного умеет Wolfram Alpha, это, конечно, малая толика.
«Умение ставить правильные вопросы есть уже важный и необходимый признак ума или проницательности. Если вопрос сам по себе бессмыслен и требует бесполезных ответов, то, кроме стыда для вопрошающего, он имеет иногда еще тот недостаток, что побуждает неосмотрительного слушателя к нелепым ответам и создает смешное зрелище: один (по выражению древних) доит козла, а другой держит под ним решето.» — писал великий немецкий философ Иммануил Кант.
В качестве иллюстрации возможностей Wolfram|Alpha решим 11-й вариант из сборника заданий для подготовки итоговых контрольных работ, 11 класс, автор Гончаренко С.В. (Ранок, 2015) [ , , ]
1. Сколько процентов составляет число 9 от числа 45?
Запрос: what percentage 9 of 45
Ответ: Г) 20%
2. Представить выражение в виде степени
Запрос: x^5 x^3
Заодно функция была проинтегрирована, продифференцирована, построен график, определена четность функции, область определения, область значений и т.д. Хотя нам пока это не надо, возьмем на заметку.
Ответ: Г) x^8
3. При каком значении переменной выражение не имеет смысла
Запрос: domain (2a-2)/(3a+9)
Ответ: Г) -3
4. Известно, что m < n. Указать правильное неравенство. Начинаем проверять варианты.
А) запрос m/7 > n/7 , выдал альтернативную форму m > n. Значит, не то.
Б) запрос m+10 > n+10 , выдал альтернативную форму m > n. Значит, снова не то.
В) запрос -2m< -2n , выдал сразу две альтернативные формы m > n и n < m. Что характерно, обе не подходят.
Значит, ответ Г) 1-4m > 1-4n, даже и проверять не будем. Хотя подозрительно — четыре раза подряд ответ Г).
5. Вынести множитель из-под знака корня
Запрос: (16c^4d^5)^(1/3)
Результат немного обескураживает, так как переменная c
проинтерпретирована как скорость света.
Не вдаваясь в физический смысл дня в пятой степени, уточним запрос, кликнув по ссылке Use «c» as a variable instead
:
Это уже ближе к истине, однако такого ответа в вариантах ответов нет. Листаем дальше — несколько удивительных трехмерных графиков, разложения в ряды и прочее. Но ничего похожего на ответ. Незачет. Добавление слова factor — то бишь разложить на множители — делу не помогло.
6. Указать неравенство, множеством решений которого является (1; +∞).
А) Запрос: solve 5^x